Полуизоморфизмы некоторых классов групп

Взаимно-однозначное отображение $\varphi$ группы $G$ на группу $H$ называется полуизоморфизмом, если для любых $x,y\in G$ $\varphi(xyx)=\varphi(x)\varphi(y)\varphi(x)$. Рассматриваются полуизоморфизмы нильпотентных, разрешимых групп, а также групп, близких к простым. Доказано, что
1. если группа $G$ нильпотентна ступени $2n$, то полуизоморфная ей группа также нильпотентна ступени либо $2n$, либо $2n-1$. Как было показано ранее автором (Сиб. матем. ж. VII, № 2 (1966), 297–302) эту оценку нельзя улучшить;
2. если группа $G$ разрешима и полуизоморфна группе $H$, то $G$ и $H$ обладают изоморфными разрешимыми субнормальными рядами;
3. если группа $G$ совпадает со своим коммутантом (или порождается элементами порядка 2) и не имеет центра, то из полуизоморфизма $G$ на группу $H$ вытекает изоморфизм этих групп.