Аффинность выпукло-инвариантных отображений

Обобщается известная теорема об аффинности гомеоморфизма $f\colon E^n\to E^n$ ($n\ge2$), сохраняющего выпуклость всех выпуклых подмножеств $E^n$.
Находятся необходимые и достаточные условия, которым должно удовлетворять семейство $S$ выпуклых подмножеств $E^n$ ($n\ge2$) для того, чтобы каждое инъективное отображение $f\colon E^n\to E^n$, сохраняющее выпуклость всех множеств, конгруэнтных множествам из $S$, было аффинным.