Частотная теорема для случая, когда пространства состояний и управлений – гильбертовы, и ее применение в некоторых задачах синтеза оптимального управления. II

Продолжение статьи в Сиб. мат. журн., XV, № 3 (1974). Известная ранее для конечномерного случая “частотная теорема” распространяется на бесконечномерный случай. Основной результат: пусть $X,U$ – гильбертовы, $A\colon X\to X$, $b\colon U\to X$ – линейные ограниченные операторы, $f(x,u)$ – эрмитова форма на $X\times U$ и пара $A,b$ управляема. Для существования такого оператора $H=H^*\colon X\to X$, что $\operatorname{Re}\overline{x}^*H(Ax+bu)+F(x,u)\geq0$ ($\forall x\in X$, $\forall u\in U$), необходимо и достаточно, чтобы $F[i\omega(I-A)^{-1}bu,u]\geq0$ ($\forall u\in U$, $\forall\omega\in R^1$).