Наилучшая кусочно-полиномиальная аппроксимация

Пусть $C(Q)$ – пространство непрерывных функций на метрическом компакте $Q$, $\mathscr{P}\subset C(Q)$ – конечномерное подпространство, $f$ – функция из $C(Q)$. Рассматриваются две задачи.
Задача 1. Найти систему компактов $\tau=\{K_1,\dots,K_m\}$, $\bigcup\limits_{j=1}^m K_j=Q$, реализующую инфимум
$$ \inf_\tau \max_{j\in1:m}\min_{p\in P}\max_{t\in K_j}|f(t)-p(t)|=\alpha_m(f). $$

Задача 2. Найти систему элементов $\pi=\{p_1,\dots,p_m\}$, $p_i\in\mathscr P$ при всех $i\in1:m$, реализующую инфимум
$$ \inf_{\pi}\max_{t\in Q}\min_{i\in1:m}|f(t)-p_i(t)|=\beta_m(f). $$

Показывается, что в определенном смысле эти задачи эквивалентны. Точнее, справедливо равенство $\alpha_m(f)=\beta_m(f)$, и по решению одной задачи легко восстанавливается решение другой. Доказана разрешимость пары задач 1 и 2 и получена оценка величины $\alpha(f)$.
Подробно исследуется одномерный случай ($Q$ – отрезок на вещественной прямой).