О существовании решений некоторых операторных неравенств

Известные критерии В. А. Якубовича разрешимости матричных неравенств, встречающихся в теории автоматического регулирования, переносятся на случай ограниченных операторов, действующих в гильбертовом пространстве. Установлена эквивалентность следующих двух теорем, в которых $A$ – ограниченный оператор со спектром в левой полуплоскости, $c,g$ и $d$ – элементы гильбертова пространства.
Теорема 1. Для того, чтобы операторное уравнение
$$ AF+FA^*=cg^*+gc^* $$
имело неотрицательное решение $F$, необходимо и достаточно существование такой голоморфной при $\operatorname{Im}\lambda<0$ функции $w(\lambda)$, $\operatorname{Im}w(\lambda)\leq0$, что $g=w(A)c$.
Теорема 2. Для существования ограниченного эрмитова оператора $X$, удовлетворяющего неравенству $A^*X+XA\leq0$ и неравенству $Xc=d$, необходимо и достаточно выполнение условия
$$ \operatorname{Re}d^*R_{i\omega}c\leq 0 \quad (-\infty<\omega<\infty). $$