Одно характеристическое свойство четырехмерного симметрического пространства ранга $1$

Рассматривается четырехмерное полное аналитическое риманово пространство $R$, геодезические которого ведут себя следующим образом: в каждой точке $P$ для любого вектора $\lambda$ в $P$ существует единственное двумерное направление $d(\lambda)$, содержащее $\lambda$ и такое, что все геодезические, выходящие из точки $P$ в направлениях, лежащих в $d(\lambda)$, образуют вполне геодезическую поверхность, изометричную единичной сфере. Доказывается, что такое пространство изометрично комплексно проективному пространству с метрикой Фубини:
$$ ds^2-\frac14\frac{\biggl(\sum\limits_{i=1}^3dz_id\bar{z}_i\biggr) \biggl(\sum\limits_{i=1}^3z_i\bar{z}_i\biggr) -\biggl(\sum\limits_{i=1}^3z_id\bar{z}_i\biggr)\biggl(\sum\limits_{i=1}^3z_id\bar{z}_i\biggr)}{\biggr(\sum z_i\bar{z}_i\biggr)^2}. $$