К одному результату Либеры и Ливингстона

Пусть $\varphi(z)$ – регулярная в круге $|z|<1$ функция, нормированная условиями: $\varphi(0)=0$, $\varphi'(0)=1$ и пусть
$$ f(z)=\frac12[z\varphi(z)]'. $$
В данной статье изучаются свойства $f(z)$, когда известна $\varphi(z)$. Например, если $\varphi(z)$ – звездообразная порядка $\alpha$, $0\leq\alpha<1$, тогда определен круг $E^*=\{z:|z|<r^*_\beta(\alpha)\}$, в котором $f(z)$ всегда звездообразна порядка $\beta$, $0\leq\beta\leq1$ . Все результаты точные. Либера и Ливпнгстон смогли получить круг $E^*$ лишь в случае, когда $\beta\geq\alpha$.