Три задачи о минимальных изотопиях и о приближении гомеоморфизмами кривых и поверхностей

Пусть $\lambda$ – простая дуга и $\tau$ – отрезок, соединяющий ее концы. В первой части работы обсуждается с соответствующими доказательствами существование минимальной изотопии, связывающей $\lambda$ и $\tau$, т. е. изотопии, заметающей минимальное число компонент дополнения к $\lambda\cup\tau$.
Вторая часть работы содержит доказательство анонсированной ранее теоремы о том, что если кривая конечной длины в плоскости аппроксимируется простыми кривыми, то аппроксимирующие ее дуги можно выбрать так, чтобы их длины не превышали длины исходной кривой.