O задаче Коши для гиперболического вырождающегося на начальной плоскости уравнения с видоизмененными начальными данными

Рассматривается гиперболическое уравнение
\begin{equation} \varphi(t)u_{tt}-\bigl[a^{ij}(x,t)u_{x_i}\bigr]_{x_j}+b^i(x,t)u_{x_i}+b_1(x,t)u_t +c_1(x,t)u=f(x,t) \label{1} \end{equation}
В уравнении (1) предполагается суммирование по повторяющимся индексам от $1$ до $n$ и $x=(x_1,x_2,\dots,x_n)$. Предполагается, что $\varphi(t)$ – монотонная функция, $\varphi(t)>0$ при $t>0$ и $\varphi(0)=0$. Для уравнения (1) изучается задача Коши с видоизмененными начальными данными вида

\begin{equation} (t^\beta u)|_{t=0}=\psi(x),\quad \biggl[t^\gamma\frac{\partial}{\partial t}(t^\beta u)\biggr]\biggr|_{t=0}=\psi_1(x) \label{2} \end{equation}
или же следующего вида:
\begin{equation} (t^\beta u)|_{t=0}=\psi(x),\quad \biggl[t^\gamma\frac{\partial}{\partial t} (t^\beta u-\overline{B})\biggr]\biggr|_{t=0}-\psi_1(x), \label{3} \end{equation}
где $\gamma\in[0,1)$, $\beta$ – неотрицательное число, $\overline{B}$ – определенная функция, зависящая от коэффициентов, свободного члена уравнения (1) и функций $\psi$, $\psi_1$. Показано, что при определенных условиях существует единственное регулярное решение либо задачи (1), (2), либо задачи (1), (3).