Суммирующие, порядково суммирующие операторы и характеризация $AL$-пространств

Пусть $X$ – банахова решетка (БР), $Y$ – банахово пространство (БП), $B(X,Y)$ – пространство линейных ограниченных операторов из $X$ в $Y$, $S(X,Y)$ – класс суммирующих (по конусу) операторов с нормой
$$ \|T\|_{S(X,Y)}=\sup\biggl\{\sum_{k=1}^n\|Tx_k\|\biggl(\biggl\| \sum_{k=1}^n|x_k|\biggr\|\biggr)^{-1}:x_1,x_2,\dots,x_n\in X\biggr\}<+\infty. $$

Основной результат первой части работы получен в теореме 1.
Теорема 1. Пусть $X$ – $\mathrm{БР}$, $Y$ – бесконечномерное $\mathrm{БП}$. Предположим, что $S(X,Y)=B(X,Y)$. Тогда $X$ порядково изоморфно $AL$-пространству.
Во второй части работы вводятся классы порядково суммирующих операторов $R(X,Y)$ и слабо порядково суммирующих операторов $R^\omega(X,Y)$, именно, оператор $T\in R(X,Y)$ ($T\in R^\omega(X,Y)$), если из безусловной сходимости ряда $\sum\limits_{i=1}^\infty x_i$ в БП $X$ вытекает сходимость (слабая безусловная сходимость) ряда $\sum\limits_{i=1}^\infty |Tx_i|$ в БР $Y$. Изучается связь классов $R(X,Y)$ и $R^\omega(X,Y)$ с классами регулярных и правильных (порядково ограниченных) операторов. Например, справедливо следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть $X$ – $\mathrm{БП}$, $Y$ – $\mathrm{БР}$ и $T\in B(X,Y)$. Следующие утверждения эквивалентны:
a) $T\in R(X,Y)$;
b) $T\in R^\omega(X,Y)$;
c) для каждого оператора $U\in B(c_0,X)$ оператор $TU\colon c_0\to Y$ регулярен как оператор из $c_0$ в $T^{**}$, т.е. $TU\in H_r(c_0,Y^{**})$.
Библ. 10.