Одно изопериметрическое свойство сжимающих отображений

Обозначим через $F^+_1$ ($F^-_1$) двумерную поверхность, гауссова кривизна которой удовлетворяет в каждой точке неравенству $K\geq1$ ($0\leq K\leq 1$); $S^2_1$ – двумерную сферу единичного радиуса; $\rho_F$ – метрику поверхности $F$; $\partial D$ – границу области $D$; $l(\gamma)$ – длину кривой $\gamma$.
Теорема. Пусть $D\subset F^+_1(F^-_1)$, $\widetilde D\subset S^2_1$ – области, удовлетворяющие условиям: (1) $D$ и $\widetilde D$ выпуклы; (2) $\widetilde D$ целиком содержится в открытой полусфере; (3) $\gamma=\partial D$ и $\widetilde\gamma=\partial\widetilde D$ регулярные кривые; (4) $l(\gamma)=l(\widetilde \gamma)$. Если существует гомеоморфизм $f\colon D\to\widetilde D$ такой, что
$$ \rho_{F^+_1}(p,q)\leq \rho_{S^2_1}(f(p),f(q)); \quad \Bigl(\rho_{F^-_1}(p,q)\geq \rho_{S^2_1}(f(p),f(q) )\Bigr) $$
для любых точек $p,q\in D$, то области $D$ и $\widetilde D$ изометричны.
Отмечено, что условие регулярности $\gamma$ и $\widetilde\gamma$ является излишним, но от условий выпуклости $D$ и $\widetilde D$, а также от принадлежности $\widetilde D$ открытой полусфере отказаться нельзя.
Библ. 6.