Применение принципа максимума Л. С. Понтрягина к решению экстремальных задач в классе функций с ограниченным средним модулем

Пусть $H_\delta$ ($\delta>0$) означает класс функций $f(z)$ , регулярных в круге $|z|<1$ и удовлетворяющих условию
$$ \frac1{2\pi i}\int_0^{2\pi}|f(re^{i\theta})|^\delta\,d\theta\leq1,\quad r=|z|, $$
а $H^m_\delta(c_m)$, $m=0,1,\dots$, подкласс функций из $H_\delta$, не обращающихся в нуль при $z\neq0$ , в разложении которых
$$ f(z)=c_mz^m+c_{m+1}z^{m+1}+\dots $$
коэффициент $c_m$ фиксирован.
Для решения экстремальных задач в этих классах применяется теория оптимального управления, в частности принцип максимума Л. С. Понтрягина. Найдены граничные функции области значений функционала $\ln(f(z)/z^m)$ в классе $H^m_\delta(c_m)$. Дальнейшее исследование привело к точным оценкам для модуля и аргумента функции в этом классе. При этом уточняется один результат Г. М. Голузина для класса $H^\theta_1(c_0)$. Далее, принцип максимума применяется для нахождения экстремальных функций задачи о максимуме суммы модулей функции в классе $H_\delta$, полученных ранее другими авторами.
Библ. 5.