О единичных базах евклидовой метрики

Для $n\geqslant 3$ обобщается теорема Ф. С. Бекмана и Д. А. Куолса об отображениях $f\colon\mathbb E^n\to\mathbb E^n$, сохраняющих расстояние 1. Доказывается (в частности) следующая
Теорема. {\it Пусть $n\geqslant 3$. Существует множество $\tilde{\mathfrak B}$ пар $\{X,Y\}$ точек евклидова пространства $\mathbb E^n$, обладающее следующими свойствами:
1) для каждой пары $\{X,Y\}\in\tilde{\mathfrak B}$, $d\{X,Y\}=1$ (где $d$ – евклидова, метрика);
2) для каждого направления (в $\mathbb E^n$) существует не более одной пары $\{X,Y\}\in\tilde{\mathfrak B}$, параллельной этому направлению;
3) если $f\colon\mathbb E^n\to\mathbb E^n$ – такое отображение (не предполагается, что $f$ инъективно, сюръективно или непрерывно), что для каждой пары $\{X,Y\}\in\tilde{\mathfrak B}$, $d(f(X),f(Y))=1$, то $f$ – изометрия.}
Библиогр. 8.