К одной теореме Нагаты о решетках полунепрерывных функций

В 1949 г. Нагата доказал, что каждое вполне регулярное пространство определяется своей решеткой неотрицательных ограниченных полунепрерывных сверху функций. Этот результат переносится на случаи $T_1$-пространств и $pc$-пространств. Кроме того, можно рассматривать решетки ограниченных и неограниченных полунепрерывных сверху отображений в некоторое упорядоченное множество с минимальным элементом. Этот факт позволяет дать положительный ответ на один вопрос Нела.
Пусть $K$ – топологический группоид, для которого существуют различные элементы $0,1\in K$ такие, что $0\cdot1=1\cdot0=0\cdot0=0,1\cdot1=1$ и $\{0,1\}$ – связное двоеточие; если $x\in K\setminus\{0,1\}$, то $x^2\ne x$. Тогда группоид $C(X,K)$ всех непрерывных отображений пространства $X$ в $K$ определяет решетку замкнутых подмножеств пространства $X$. Этот факт позволяет обобщить теоремы Говарца, Нильсена и Слоера.
Библиогр. 13.