О принципе локализации для сумм Марцинкевича в двумерном случае

Изучаются линейные методы суммирования двойного ряда Фурье вида
$$ u_{\varphi,n}(f,x)=\sum_{k\in\mathbf Z^2}\varphi\biggl(\frac{\rho(k)}n\biggr) c_k(f)e^{2\pi i(k,x)}, $$
где $c_k(f)$ – коэффициенты Фурье функции $f$, $(x,y)$ – скалярное произведение в $\mathbf R^2$, $\rho(t)=\max\{|t_1|,|t_2|\}$. Для широкого класса таких методов показано, что принцип локализации в пространстве $L_p$ ($1\leq p<\infty$) справедлив тогда и только тогда; когда $\varphi\in\operatorname{Lip}1/p$. В частности; для сумм Рисса–Марцинкевича ($\varphi(x)=(1-x)^\alpha_+$, $0<\alpha\leq1$) принцип локализаций имеет место в пространстве $L_p$ при $p\geq1/\alpha$ и не имеет места при $p<1/\alpha$. Получены также достаточные условия для отсутствий локализаций в $C$ и наличия локализаций в $L_\infty$.
Библиогр. 5.