Об одном обобщении подгруппы Хьюза

Пусть $p$ – простое число; по определению конечная группа $G$ принадлежит классу ${\mathscr H}_p(n)$, если в $G$ есть $n$ подгрупп, теоретико-множественное объединение которых не равно $G$ и все элементы вне этого объединения имеют простой порядок $p$. Доказывается, что если $n\leq p$, то $d$-порожденная группа из ${\mathscr H}_p(n)$ обладает подгруппой индекса, делящего $p^n$, которая нильпотентна $(d,p)$-ограниченной ступени, а также подгруппой $(d,p)$-ограниченного индекса, которая нильпотентна ступени $\le h(p)$, где $h(p)$ – функция Хигмэна. Ранее Брайс, Федри и Серена доказали при тех же условиях наличие нильпотентного нормального $p$-дополнения. Кроме того, доказывается, что если $G$ – разрешимая ступени $s$ $p$-группа из ${\mathscr H}_p(n)$ при $n\le p$, то $G$ обладает нормальной подгруппой индекса, делящего $p^n$, которая нильпотентна ступени, не превосходящей $(p^s-1)/(p-1)$. В качестве несложного следствия получаются результаты Брайса и Брайса и Косси о нильпотентности разрешимых $p$-групп ограниченного периода из ${\mathscr H}_p(n)$ при $n\le p$. Доказательства сводятся к применению результатов автора о расщепляющих автоморфизмах простого порядка.
Библиогр. 13.