О проблеме 18 из книги Гудерла “Регулярные кольца фон Неймана”

Методами булевозначного анализа исследуется указанная проблема (см. Goodearl К. R. Von Neumann regular rings. London etc.: Pitman, 1979).
Обозначения: $E(\alpha A)$ – инъективная оболочка прямой суммы $\alpha$ копий модуля $A_R$, $B$ – булева алгебра центральных идемпотентов кольца $R$, $M$ – максимальный идеал в $B$, $\mu_M(A)$ – функция бесконечной размерности, $\alpha$ – бесконечный кардинал, $\alpha^{+}$ – кардинал, последующий за $\alpha$, $\alpha^{+}_M$ – такой кардинал, что $[\![$ мощность $(\alpha^{+}_M)^{\vee}$ больше мощности $\widehat\alpha]\!]\notin M$, но $[\![\breve\gamma$ равномощно $\breve\alpha]\!]\notin M$ для всякого $\alpha\leq\gamma<\alpha^{+}_M$, где оценка вычисляется в универсуме $V^B$ (см. Йех Т. Теория множеств и метод форсинга. М., 1973).
Теорема 1. Если $R$ – регулярное самоинъективное справа кольцо, $A$ – антисингулярный инъективный правый $R$-модуль, $\mu_M(A)>0$, то $\mu_M(E(\alpha A))=\max\{\mu_M(A),\alpha^{+}_M\}$.
В проблеме же 18 была высказана гипотеза: $\mu_M(E(\alpha A))=\max\{\mu_M(A),\alpha^{+}\}$. Следствия 1 и 2 из теоремы 1 говорят, что при “хороших” $B$ $\alpha^{+}_M$ совпадает с $\alpha^{+}$, и тогда последнее равенство справедливо.
Библиогр. 5.