|
Сибирский математический журнал, 1997, том 38, номер 6, страницы 1387–1396
(Mi smj327)
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях)
Фрактальные прямые и квазиконформные отображения
Д. А. Троценко
Аннотация:
Исследуются линии в евклидовом пространстве, названные автором фрактальными прямыми. В определенном смысле они являются "прямыми с точностью до $\varepsilon$". Вводятся классы кривых $J_1(\varepsilon)$ и $J_2(\varepsilon)$, эквивалентные при малых $\varepsilon$.
Кривая $\gamma$ удовлетворяет условию $J_2(\varepsilon)$, если для каждых $x,y,z\in R$ из неравенств $x\leqslant y\leqslant z$ следует, что
$$
(1+\varepsilon^2)|\gamma(z)|\geqslant|\gamma(x)-\gamma(y)|+|\gamma(y)-\gamma(z)|.
$$
Это условие при больших $\varepsilon$ эквивалентно известному $M$-условию Альфорса, задающему неограниченные квазиокружности – образы прямых при квазиконформных отображениях плоскости.
Основной результат статьи – следующая
Теорема. Существуют $\varepsilon_0>0$ и $C<\infty$, зависящие только от $n$, $n\geqslant2$, такие, что по любой неограниченной кривой $\gamma\colon\bar R\to\bar R^n$, удовлетворяющей условию $J_1(\varepsilon)$, можно найти $K$-квазиконформное отображение $f\colon\bar R^n\to\bar R^n$, обладающее следующими свойствами:
$1)$ $f(\bar R)=\gamma(\bar R)$,
$2)$ $K_f\leqslant 1+C_\varepsilon$.
Доказательство состоит в продолжении квазисимметрического отображения $f\colon\bar R\to\gamma(\bar R)$, построенного автором ранее. Для построенного в работе продолжения получена оценка $K_f\leqslant1+1{,}7\cdot10^4n^{5/2}\varepsilon$ при $\varepsilon\leqslant1/8\cdot10^5n^{3/2}$.
Ил. 1.
Библиогр. 11.
Статья поступила: 19.07.1996
Образец цитирования:
Д. А. Троценко, “Фрактальные прямые и квазиконформные отображения”, Сиб. матем. журн., 38:6 (1997), 1387–1396; Siberian Math. J., 38:6 (1997), 1206–1214
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/smj327 https://www.mathnet.ru/rus/smj/v38/i6/p1387
|
|