О пространствах с базами, определяемыми с помощью цепочек множеств

Пусть $\mathscr{S}$ – система подмножеств множества $X$. Цепочкой из элементов системы называется конечная подсистема $\mathscr{C}=\{U_1,U_2,\dots,U_n\}\subset\mathscr{P}$ такая, что при всех $i=1,2,\dots,n-1$ $U_i\cap U_{i+1}\ne\varnothing$.
Если $a\ne b$ – точки множества $X$, то $\mathscr{P}$-лучом от $a$ к $b$ называется множество $\mathscr{P}L=\{x\in X: \text { существует цепочка } \mathscr{C}\subset\mathscr{P} \text{ и }\{а, х\} \subset\cup\mathscr C\not\ni b\}$, малым $\mathscr S$-лучом от $a$ к $b$ —называется множество $\mathscr S l(a,b)=\cup\{U\in\mathscr S:a\in U\not\ni b\}$.
Семейство $\mathscr S$ подмножеств топологического пространства называется некоммуникабельным (соответственно слабо некоммуникабельным), если для любой точки $a\in\cup\mathscr S$ и любой точки $b\neq a$ имеем $b\notin[\mathscr SL(a,b)]$ (соответственно $b\notin[\mathscr Sl(a,b)]$ ). Для краткости слово “некоммуникабельный” заменяется буквами nc, а слова “слабо некоммуникабельный” – буквами wnc.
В статье изучаются пространства с nc-базой и wnc-базой, а также nc-компактные и wnc-компактные пространства.
Легко видеть, что свойства “иметь nc-базу” и “иметь wnc-базу” наследуются произвольными подпространствами и верны импликации: "$X$ имеет nc-базу" $\Rightarrow$ "$X$ имеет wnc-базу" $\Rightarrow$ "$X$ наследственно wnc-компактно", а также "$X$ имеет nc-базу" $\Rightarrow$ "$X$ наследственно nc-компактно" и "$X$ nc-компактно" $\Rightarrow$ "$X$ wnc-компактно".
По предложению 2 в $T_1$ пространстве база ранга 1 является nc-базой, по примеру 1 одноточечная бикомпактификация несчетного дискретного пространства имеет nc-базу, но не базу ранга 1.
По теореме 12 свойство “иметь wnc-базу” конечно-мультипликативно. Примеры 3, 4 и 5 показывают, что не являются конечно-мультипликативными ни свойство “иметь nc-базу”, ни свойство “быть nc-компактным” или “быть wnc-компактным”. Таким образом, wnc-база – это то, что остается в произведении пространств с базой ранга 1 от этой базы.
По теореме 4 и 6 класс nc-компактных $T_2$-пространств совпадает с классом нульмерных в смысле $\dim$ сильно паракомпактных пространств. В частности, nc-компактны все нульмерные бикомпакты, например экстремально несвязные. По теореме 9 для бикомпактов wnc-компактность совпадает с nc-компактностью, в частности nc-компактны бикомпакты с wnc-базой.
По теореме 18 для бикомпактов с wnc-базой верны соотношения $\aleph_0=t(X)\le c(X)\le hc(X)=hic(X)\le d(X)=w(X)$.
По предложению 1 для $T_0$-пространств с wnc-базой $\operatorname{ind}X=0$; по теореме 3 для wnc-компактных $T_1$-пространств $\operatorname{ind}X=0$; по теореме 19, если в $T_1$-пространстве база представляется в виде суммы n nc-семейств, то $\dim X\le n-1$.
Библиогр. 13.