К вопросу о нормальной разрешимости задачи Дирихле для уравнения колебания струны в областях с негладкими границами

Рассматривается однопараметрическое семейство уравнений
\begin{align} \bar{\mathscr{L}}_\lambda u=f,\quad f\in L_2(\Omega),\quad\lambda\in(-1,1),\label{1}\\ \bar{\mathscr{L}}_\lambda^*u=g,\quad g\in L_2(\Omega),\quad\lambda\in(-1,1),\label{2} \end{align}
где $\bar{\mathscr{L}}_\lambda$ – замыкание в $L_2(\Omega)$ оператора $\mathscr{L}_\lambda u=(1+\lambda)_{x_1x_1}-(1-\lambda)_{x_2x_2}$, $D(\mathscr{L}_\lambda)=\overset\circ{W}{}_2^1(\Omega)\cap W_2^2(\Omega)$. Область $\Omega\subset\mathbf{R}^2$ ограниченная выпуклая с кусочно-гладкой границей. Нормальная разрешимость уравнений (1), (2) существенно зависит от того, является ли рациональным число вращения $\alpha(F_\lambda)$ гомеоморфизма границы $F_\lambda$, порожденного оператором $\mathscr{L}_\lambda$, или нет. Получены отдельно необходимые и отдельно достаточные условия того, что $\alpha(F_\lambda)$ рационально при всех $\lambda\in(-1,1)$, за исключением конечного числа значений $\{\lambda_1,\dots,\lambda_N\}$, а также приведен пример, показывающий, что каждое из этих условий не является необходимым и достаточным.
Ил. 3, библиогр. 14.