Применение экстремального случая в теореме сравнения для получения теорем о пробеле

С помощью экстремального случая в теореме Топоногова сравнения углов в треугольнике получаются теоремы жесткости следующего типа: если риманово многообразие $M^n$ секционной кривизны $K_\sigma\ge k$ ($K_\sigma\le k$) содержит некоторую изометрично вложенную окрестность экваториальной гиперсферы $S_k^{n-1}$ в стандартной сфере $S_k^n$ постоянной кривизны $k$, то $M^n$ изометрично $S_k^n$ (теоремы 2, 3). Показано также, что у гиперболического пространства $H^n$ постоянной кривизны $-1$ невозможно изменить метрику в компактной области так, чтобы секционная кривизна удовлетворяла неравенству $K_\sigma\ge -1$ или $K_\sigma\le -1$ (теоремы 4, 5).
Библиогр. 6.