Автоморфизмы групп Коксетера типа $K_n$

Говорят, что система Коксетера $(W,S)$ {it имеет тип} $K_n$, если ассоциированный граф Коксетера $\Gamma_S$ полный на $n$ вершинах и имеет только нечетные метки ребер. Если $W$ удовлетворяет одному из условий: 1) $n=3$, 2) $W$ жесткий, то группа автоморфизмов $W$ порождается внутренними автоморфизмами $W$ и какими-то автоморфизмами, индуцированными $\Gamma_S$. Действительно, $\operatorname{Aut}(W)$ — полупрямое произведение $\operatorname{Inn}(W)$ и группы автоморфизмов диаграмм, так что $W$ сильно жесткий. Показано также, что если $W$ — группа Коксетера типа $K_n$, то $W$ имеет в точности один сопряженный класс инволюций и тем самым $\operatorname{Aut}(W)=\operatorname{Spec}(W)$.