О взаимной определимости операций над полями

Изучается возможность определения одних операций на полях через другие. В частности, доказывается, что операция умножения на произвольном поле может быть определена через операцию сложения тогда и только тогда, когда это поле является конечным расширением своего простого подполя. Приведено достаточное условие для неопределимости сложения через умножение. В частности, доказано, что операции умножения и сложения на вещественных и комплексных числах не могут быть определены одна через другую посредством отношений с параметрами, устойчивых относительно автоморфизмов. Также изучена взаимная определимость операций сложения, умножения и экспоненцирования в полях вещественных и комплексных чисел через две остальные операции.