Метрики на проекторах алгебры фон Неймана, ассоциированные со следовыми функционалами

Пусть $\varphi$ — положительный функционал на алгебре фон Неймана $\mathcal{A}$, $\mathcal{A}^{\mathrm{pr}}$ — решетка проекторов в $\mathcal{A}$. Для всех $P, Q$ из $ \mathcal{A}^{\mathrm{pr}}$ положим $\rho_\varphi (P,Q)=\varphi (|P-Q|)$ и $d_\varphi (P,Q)=\varphi (P\vee Q-P\wedge Q)$. Тогда $\rho_\varphi (P,Q) \leq d_\varphi (P,Q)$ для всех $P, Q$ из $ \mathcal{A}^{\mathrm{pr}}$ и $\rho_\varphi (P,Q) = d_\varphi (P,Q)$ при $PQ=QP$. Отображение $\rho_\varphi$ (или $d_\varphi $) удовлетворяет неравенству треугольника тогда и только тогда, когда функционал $\varphi$ следовый. Для точного следового функционала $\tau$ отображения $\rho_\tau$ и $d_\tau$ являются метриками на $\mathcal{A}^{\mathrm{pr}}$. Если, кроме того, функционал $\tau$ нормален, то $( \mathcal{A}^{\mathrm{pr}}, \rho_\tau )$ и $( \mathcal{A}^{\mathrm{pr}}, d_\tau) $ являются полными метрическими пространствами. Сходимости в метриках $\rho_\tau$ и $d_\tau$ эквивалентны тогда и только тогда, когда алгебра $\mathcal{A}$ абелева, при этом $\rho_\tau=d_\tau$. В терминах неравенств установлен еще один критерий абелевости алгебры $\mathcal{A}$.