Теорема Морса–Сарда и $N$-свойство Лузина: новый синтез для гладких и соболевских отображений

Для регулярных отображений евклидовых пространств изучается вопрос об искажении хаусдорфовой размерности образа данного множества, на котором дифференциал отображения имеет ограничение по рангу.
Для классических пространств функций гладкости $k$ и для гёльдеровых отображений данная проблема решена в статьях А. Я. Дубовицкого, Бейтса и Морейры. В настоящей работе эта проблема решается для соболевских классов функций (включая случай с дробным показателем гладкости). При этом соболевский случай изучается при минимальных предположениях на показатель интегрируемости (когда можно гарантировать лишь непрерывность, а не всюду дифференцируемость рассматриваемых функций). Попутно установлен ряд новых фактов и для классического гладкого случая.
Доказательства большинства результатов основаны на наших предыдущих статьях с Бургейном и Кристенсеном (2013, 2015).