Построение и исследование некоторых точных решений нелинейного уравнения теплопроводности

Построены и исследованы точные решения нелинейного параболического уравнения второго порядка, которое в отечественной научной литературе обычно именуется “нелинейным уравнением теплопроводности”, или “уравнением нелинейной фильтрации”, а за рубежом – “the porous medium equation”. Рассматривается специальный класс решений, имеющих вид тепловой волны, которая распространяется по холодному (нулевому) фону с конечной скоростью. При этом на границе тепловой волны, называемой тепловым фронтом, происходит вырождение уравнения с понижением его порядка. Построение указанных решений посредством перехода к переопределенной системе и анализа ее разрешимости сводится к интегрированию нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, при этом начальное условие таково, что уравнение является неразрешенным относительно старшей производной. Получены некоторые допустимые семейства тепловых фронтов и соответствующие им классы точных решений поставленной задачи. Методами качественной теории дифференциальных уравнений и степенной геометрии, адаптированных для вырождающихся уравнений, проведено подробное исследование глобальных свойств решений. Выполнена интерпретация полученных результатов с точки зрения исследования поведения и свойств тепловых волн с логарифмическим законом движения фронта.