О некоторых лиувиллевых теоремах на некомпактных римановых многообразиях

Рассматриваются ограниченные решения уравнений
$$ \Delta u=0, \quad \Delta u-c(x)u=0 $$
на полных римановых многообразиях, устроенных таким образом: вне некоторого компакта многообразие $M$ изометрично произведению $\mathbb R_+\times S_1\times\dots\times S_k$, где $\mathbb R_+$ – положительная полуось, а $S_i$ – некоторые компактные многообразия. Метрика на прямом произведении вводится следующим образом:
$$ ds^2=h^2(r)dr^2+g_1^2(r)d\theta_1^2+\dots+g_k^2(r)d\theta_k^2, $$
где $h(r)$ и $g_i(r)$ – положительные гладкие на $\mathbb R_+$ функции, а $d\theta_i^2$ – метрика на $S_i$.
Найдены необходимые и достаточные условия справедливости теоремы Лиувилля для ограниченных решений указаных уравнений многообразия $M$.
Библиогр. 4.