Замечания о ранге конечной разрешимой группы

Пусть $G$ – конечная группа и $\sigma=\{\sigma_i|i\in I\}$ – некоторое разбиение множества простых чисел $\mathbb P$. Тогда $G$ называется $\sigma$-нильпотентной, если $G=A_1\times\cdots\times A_r$, где $A_i$ – $\sigma_{i_j}$-группа для некоторого $i_j=i_j(A_i)$. Множество $\mathscr H$ подгрупп из $G$ называется полным холловым $\sigma$-множеством в $G$, если каждый член $\ne1$ из $\mathscr H$ является холловой $\sigma_i$-подгруппой в $G$ для некоторого $i\in I$ и $\mathscr H$ содержит в точности одну холлову $\sigma_i$-подгруппу из $G$ для каждого такого $i$, что $\sigma_i\cap\pi(G)\ne\emptyset$. Подгруппа $A$ из $G$ называется $\sigma$-квазинормальной или $\sigma$-перестановочной [1] в $G$, если $G$ содержит такое полное холлово $\sigma$-множество $\mathscr H$, что $AH^x=H^xA$ для всех $H\in\mathscr H$ и всякого $x\in G$. Символ $r(G)$ (соответственно $r_p(G)$) обозначает ранг (соответственно $p$-ранг) $G$.
Пусть $\mathscr H$ – полное холлово $\sigma$-множество из $G$. Доказано, что: (i) если $G$ разрешима, $r(H)\leq r\in\mathbb N$ для всех $H\in\mathscr H$ и каждая $n$-максимальная подгруппа из $G$ $(n>1)$ $\sigma$-квазинормальна в $G$, то $r(G)\leq n+r-2$; (ii) если каждый член из $\mathscr H$ разрешим и каждая $n$-минимальная подгруппа из $G$ $\sigma$-квазинормальна в $G$, то $G$ разрешима и $r_p(G)\leq n+r_p(H)-1$ для всех $H\in\mathscr H$ и нечетных $p\in\pi (H)$.