Низкие и легкие $5$-звезды в $3$-многогранниках с минимальной степенью $5$ при наличии запретов на степени старших вершин

В 1940 г. в попытках решить проблему четырех красок Лебег дал приближенное описание окрестностей $5$-вершин в классе $\mathbf P_5$ $3$-многогранников с минимальной степенью $5$. Это описание зависит от $32$ главных параметров. Пока получено очень мало точных верхних оценок этих параметров даже для ограниченных подклассов в $\mathbf P_5$.
Для данного $3$-многогранника $P$ через $h(P)$ обозначим минимум максимальных степеней (высоту) вершин окрестности $5$-вершин (младших $5$-звезд) в $P$.
В 1996 г. Йендроль и Мадараш показали, что если многогранник $P$ в $\mathbf P_5$ допускает $5$-вершины, смежные с четырьмя $5$-вершинами (называемыми младшими $(5,5,5,5,\infty)$-звездами), то $h(P)$ может быть неограниченно большой.
Для каждого $P^*$ в $\mathbf P_5$ без вершин степеней от $6$ до $8$ и без младших $(5,5,5,5,\infty)$-звезд из теоремы Лебега следует, что $h(P^*)\le17$.
Доказано, в частности, что каждый такой многогранник $P^*$ удовлетворяет неравенству $h(P^*)\le12$, где оценка $12$ точна. Этот результат неулучшаем в том смысле, что если одна из степеней в $\{6,7,8\}$ разрешается, но при этом другие две запрещены, то высота младших $5$-звезд в $\mathbf P_5$, при отсутствии младших $(5,5,5,5,\infty)$-звезд, может достигать $15$, $17$ или $14$ соответственно.