О пронормальности подгрупп нечетных индексов в конечных простых симплектических группах

Подгруппа $H$ группы $G$ называется пронормальной, если для любого элемента $g\in G$ подгруппы $H$ и $H^g$ сопряжены в подгруппе $\langle H,H^g\rangle$. В [1] была высказана гипотеза о том, что подгруппа нечетного индекса в конечной простой группе всегда пронормальна. Недавно [2] авторы подтвердили эту гипотезу для всех конечных простых групп, за исключением $PSL_n(q)$, $PSU_n(q)$, $E_6(q)$ и $^2E_6(q)$, где $q$ во всех случаях нечетно и $n$ не является степенью числа $2$, а также $P\operatorname{Sp}_{2n}(q)$, где $q\equiv\pm3\pmod8$. Однако в [3] авторами было доказано, что при $q\equiv\pm3\pmod8$ и $n\equiv0\pmod3$ простая симплектическая группа $P\operatorname{Sp}_{2n}(q)$ содержит непронормальную подгруппу нечетного индекса. Тем самым гипотеза о пронормальности подгруппы нечетного индекса в конечной простой группе была опровергнута.
Как естественное расширение данной гипотезы возникает проблема классификации конечных неабелевых простых групп, в которых любая подгруппа нечетного индекса пронормальна. В настоящей работе продолжается изучение этой проблемы для симплектической простой группы $P\operatorname{Sp}_{2n}(q)$ при $q\equiv\pm3\pmod8$ (в отсутствие этого ограничения подгруппы нечетных индексов пронормальны). Доказано, что если $n$ не является числом вида $2^m$ или $2^m(2^{2k}+1)$, то данная группа содержит непронормальную подгруппу нечетного индекса. Доказано, что если $n=2^m$, то все подгруппы нечетных индексов в группе $P\operatorname{Sp}_{2n}(q)$ пронормальны. Для случая $n=2^m(2^{2k}+1)$ и $q\equiv\pm3\pmod8$ вопрос о пронормальности подгрупп нечетных индексов в группе $P\operatorname{Sp}_{2n}(q)$ пока остается открытым.