Высота граней $3$-многогранников

Высота грани в $3$-многограннике есть максимальная степень инцидентных ей вершин, а высота $h$ $3$-многогранника есть минимум высот его граней. Грань называется пирамидальной, если она является либо $4$-гранью, инцидентной трем $3$-вершинам, либо $3$-гранью, инцидентной двум вершинам степени не больше $4$. При наличии пирамидальных граней $h$ может быть сколь угодно большой, поэтому далее предполагается, что пирамидальных граней нет.
В 1940 г. Лебег доказал, что $h\le11$ в каждом четыреангулированном $3$-многограннике. В 1995 г. эта оценка была улучшена С. В. Августиновичем и О. В. Бородиным до $10$. Недавно эта оценка улучшена нами до точной оценки $8$.
Для плоских триангуляций без $4$-вершин О. В. Бородин (1992 г.), подтвердив гипотезу Коцига (1979 г.), доказал, что $h\le20$, причем оценка неулучшаема; далее для всех триангулированных $3$-многогранников он (1998 г.) доказал, что $h\le20$. Для многогранников без треугольников нами недавно получена точная оценка $10$.
Для произвольных многогранников Хорняк и Йендроль (1996 г.) доказали, что $h\le23$. В настоящей статье эта оценка улучшена до точной оценки $20$.