Квазиконформность инъективных отображений, переводящих сферы в квазисферы

Доказано, что инъективное отображение области $D\subset\overline{\mathbb R}^n=\mathbb R^n\cup\{\infty\}$, переводящее сферы $\Sigma\subset D$ в $K$-квазисферы (образы сфер при $K$-квазиконформных автоморфизмах пространства $\overline{\mathbb R}^n$), является $K'$-квазиконформным с $K'$, зависящим лишь от $K$ и стремящимся к $1$ при $K\to1$. Это квазиконформный аналог классической теоремы Каратеодори о мёбиусовости инъективного отображения области $D\subset\mathbb R^n$, переводящего сферы в сферы.