О подчинении некоторых аналитических функций

Определяется новый подкласс
$$ \mathscr V(\alpha,\beta)^=\Bigl\{f\in\mathscr A\colon\alpha<\operatorname{Re}\Bigl\{\Bigl(\frac z{f(z)}\Bigr)^2f'(z)\Bigr\}<\beta\Bigr\},\quad\alpha<1,\ \ \beta>1, $$
класса аналитических функций с ограниченной положительной частью. Устанавливаются некоторые свойства этого класса. Также изучается класс $\mathscr U(\gamma)$ ($\gamma>0$), определяемый следующим образом:
$$ \mathscr U(\gamma):=\Bigl\{f\in\mathscr A\colon\Bigl|\Bigl(\frac z{f(z)}\Bigr)^2f'(z)-1\Bigr|<\gamma\Bigr\}, $$
где $\mathscr A$ – класс нормированных функций.