Мёбиус-билипшицево однородные дуги на плоскости

Мёбиус-билипшицевым называется $\eta$-квазимёбиусово отображение с линейной функцией искажения $\eta(t)=Kt$. Показано, что если открытая жорданова дуга $\gamma\subset\overline{\mathbb C}$ с различными концами $a,b$ однородна относительно $\mathscr F_K$ семейства мёбиус-билипшицевых автоморфизмов сферы $\overline{\mathbb C}$ c заданным $K$ , то она имеет ограниченное искривление по Рикману $RT(\gamma)$ и, следовательно, является квазиконформным образом прямолинейного отрезка. Однородность $\gamma$ относительно $\mathscr F_K$ означает, что для любых $x,y\in\gamma\setminus\{a,b\}$ существует $f\in\mathscr F_K$, у которого $f(\gamma)=\gamma$ и $f(x)=y$. Для получения верхней оценки рикманова искривления $RT(\gamma)$ вводится условие $BR(\delta)$ ограниченного вращения жордановой дуги $\gamma$, и тогда эта оценка выражается явно через $K$ и $\delta$.