$\Phi$-гармонические функции на дискретных группах и первые $\ell^\Phi$-когомологии

Изучаются первые группы когомологий счетной дискретной группы $G$ с коэффициентами в $G$-модуле $\ell^\Phi(G)$, где $\Phi$ есть $n$-функция из класса $\Delta_2(0)\cap\nabla_2(0)$. В развитие идей и методов Палса и Мартена–Валетта для конечно порожденной группы $G$ вводится дискретный $\Phi$-лапласиан и доказывается теорема о разложении пространства функций с конечной $\Phi$-суммой Дирихле в прямую сумму пространства $\Phi$-гармонических функций и $\ell^\Phi(G)$ (при соответствующей факторизации). Также показано, что для конечно порожденной группы $G$, у которой есть конечно порожденная бесконечная аменабельная подгруппа с бесконечным централизатором, имеет место равенство $\overline H^1(G,\ell^\Phi(G))=0$. В завершение доказывается тривиальность первой группы когомологий для сплетения двух групп, одна из которых неаменабельна.