Случайные системы уравнений в свободных абелевых группах

Исследуется разрешимость случайных систем уравнений в свободной абелевой группе $\mathbb Z^m$ конечного ранга $m$. Пусть $\operatorname{SAT}(\mathbb Z^m,k,n)$ и $\operatorname{SAT}_{\mathbb Q^m}(\mathbb Z^m,k,n)$ обозначают множества всех систем из $n$ уравнений от $k$ неизвестных в группе $\mathbb Z^m$, разрешимых соответственно в $\mathbb Z^m$ и $\mathbb Q^m$. Доказано, что асимптотическая плотность $\rho(\operatorname{SAT}_{\mathbb Q^m}(\mathbb Z^m,k,n))$ множества $\operatorname{SAT}_{\mathbb Q^m}(\mathbb Z^m,k,n)$ равна 1 при $n\le k$ и 0 при $n>k$. Для множества $\operatorname{SAT}(\mathbb Z^m,k,n)$ при $n<k$ получены оценки для нижней и верхней асимптотических плотностей, показано, что они лежат в интервале от $\left(\prod^k_{j=k-n+1}\zeta(j)\right)^{-1}$ до $\left(\frac{\zeta(k+m)}{\zeta(k)}\right)^n$, где $\zeta(s)$ – дзета-функция Римана. При $n\le k$ установлена связь между асимптотической плотностью множества $\operatorname{SAT}(\mathbb Z^m,k,n)$ и суммами обратных наибольших делителей по матрицам полного ранга. Исходя из этого результата выдвинута гипотеза относительно асимптотической плотности множества $\operatorname{SAT}(\mathbb Z^m,n,n)$. Доказано, что $\rho(\operatorname{SAT}(\mathbb Z^m,k,n))=0$ при $n>k$.