Об одной экстремальной задаче для комплексных полиномов с ограничениями на их критические значения

Для любых фиксированных комплексных чисел $a,b$ и натурального $n\ge2$ исследуется задача о нахождении верхней грани произведения $|P'(0)P'(1)|$ по множеству всех полиномов $P$ степени $n$, удовлетворяющих следующим условиям: $P(0)=a$, $P(1)=b$ и $|P(z)|\le1$ для всех $z$, при которых $P'(z)=0$. В качестве приложений основного результата работы приводится ряд точных оценок для модулей производных полиномов с учетом их критических значений. В частности, устанавливается новая версия неравенства марковского типа для произвольного компакта.