Комбинаторное строение граней в триангулированных $3$-многогранниках с минимальной степенью $4$

В 1940 г. Лебег доказал, что каждый $3$-многогранник с минимальной степенью не менее $4$ содержит $3$-грань, набор степеней вершин которой мажорируется одной из следующих последовательностей: $(4,4,\infty)$, $(4,5,19)$, $(4,6,11)$, $(4,7,9)$, $(5,5,9)$, $(5,6,7)$. Это описание было усилено Бородиным (2002) следующим образом: $(4,4,\infty)$, $(4,5,17)$, $(4,6,11)$, $(4,7,8)$, $(5,5,8)$, $(5,6,6)$.
Для триангуляций с минимальной степенью не менее $4$ Йендроль (1999) дал такое описание граней: $(4,4,\infty)$, $(4,5,13)$, $(4,6,17)$, $(4,7,8)$, $(5,5,7)$, $(5,6,6)$.
Мы даем следующее описание граней в плоских триангуляциях (в частности, для триангулированных $3$-многогранников) с минимальной степенью не менее $4$, в котором все параметры неулучшаемы и достигаются независимо от других: $(4,4,\infty)$, $(4,5,11)$, $(4,6,10)$, $(4,7,7)$, $(5,5,7)$, $(5,6,6)$.
Попутно опровергается гипотеза Йендроля (1999) о комбинаторном строении граней в триангулированных $3$-многогранниках.