Квазиконформный аналог критерия Каратеодори мёбиусовости отображений

В 1937 г. Каратеодори доказал, что инъективное отображение $f\colon G\to f(G)\subset\overline{\mathbf C}$ области $G\subset\overline{\mathbf C}$, переводящее окружности в окружности, мёбиусово. В данной статье показано, что если инъективное отображение переводит окружности в $k$-квазиокружности, то оно $K$-квазиконформно c $K\le k+\sqrt{k^2-1}$.