Классы Соболева на произвольном метрическом пространстве с мерой. Компактность операторов вложения

Сформулировано новое определение классов Соболева функций, заданных в области метрического пространства, в котором не обязано выполняться условие удвоения. Доказана эквивалентность сформулированного определения классическому определению в случае, когда область определения лежит в евклидовом пространстве со стандартной лебеговой мерой. Исследованы ограниченность и компактность операторов вложения рассматриваемых классов Соболева в пространства $L_q$ и $C^\alpha$ . Сформулирован и доказан критерий компактности семейства функций из $L_p(U)$, где множество $U$ лежит в метрическом пространстве, которое не обязано удовлетворять условию удвоения.