Контрпримеры к ранговому аналогу теоремы Шеферда–Лидхэм-Грина–Маккэй о конечных $p$-группах максимальной ступени нильпотентности

По теореме Шеферда–Лидхэм-Грина–Маккэй о конечных $p$-группах максимальной ступени нильпотентности, если конечная $p$-группа порядка $p^n$ имеет ступень нильпотентности $n-1$, то она обладает подгруппой ступени нильпотентности не выше 2 с индексом, ограниченным в терминах $p$. Построены контрпримеры к ранговому аналогу этой теоремы, которые дают отрицательное решение задачи 16.103 из “Коуровской тетради”. Более того, показано, что не существует функций $r(p)$ и $l(p)$ таких, что любая $2$-порожденная конечная $p$-группа, все факторы нижнего центрального ряда которой начиная со второго циклические, обязательно обладала бы нормальной подгруппой ступени разрешимости не выше $l(p)$ с фактор-группой ранга не выше $r(p)$. Требуемые примеры конечных $p$-групп строятся как фактор-группы нильпотентных групп без кручения, которые являются абстрактными $2$-порожденными подгруппами нильпотентных делимых групп без кручения, находящихся в соответствии Мальцева с “укороченными” алгебрами Витта.