О компактных вещественных формах алгебр Ли типов $E_6$ и $F_4$

Приводится конструкция компактных вещественных форм алгебры Ли типа $E_6$, использующая конечную неприводимую подгруппу типа $3^{3+3}:\operatorname{SL}_3(3)$, которая изоморфна максимальной подгруппе ортогональной группы $\Omega_7(3)$. В частности, показано, что алгебра единственным образом определяется этой подгруппой. Обратно, с привлечением базовых свойств доказано, что алгебра удовлетворяет тождеству Якоби, и, таким образом, дано элементарное доказательство существования алгебры Ли типа $E_6$. Компактная вещественная форма приводится для $F_4$ как для подалгебры.