О числе соотношений свободных произведений абелевых групп

Рассматриваются конечно порожденные группы, построенные из циклических при помощи свободных и прямых произведений, и изучается вопрос о наименьшем числе соотношений в заданной системе порождающих. Этот вопрос связан с известной проблемой скачка соотношений. Доказано, что если $m$ и $n$ не являются взаимно простыми, то группа $H_{m,n}=(\mathbb Z_m\times\mathbb Z)*(\mathbb Z_n\times\mathbb Z)$ не может быть задана тремя соотношениями в стандартной системе порождающих. Аналогичный результат получен для групп $G_{m,n}=(\mathbb Z_m\times\mathbb Z_m)*(\mathbb Z_n\times Z_n)$. С другой стороны, установлено, что при взаимно простых $m$ и $n$ образ группы $H_{m,n}$ в любой нильпотентной группе задается тремя соотношениями.