О группах унитреугольных автоморфизмов относительно свободных групп

Дано описание структуры группы унитреугольных автоморфизмов $U_n$ относительно свободной группы $G_n$ конечного ранга $n$ произвольного многообразия групп $\mathscr C$, позволяющее ввести эффективное понятие нормальной формы элемента и представить группу $U_n$ через порождающие элементы и определяющие соотношения. Случаи $n=1,2$ очевидны: группа $U_1$ тривиальна, группа $U_2$ циклическая. При $n\ge3$ доказано следующее. Если группа $G_{n-1}$ нильпотентна, то группа унитреугольных автоморфизмов $U_n$ также нильпотентна. Если группа $G_{n-1}$ почти нильпотентна, то группа $U_n$ допускает точное представление матрицами. Если же многообразие $\mathscr C$ отлично от многообразия всех групп и группа $G_{n-1}$ не почти нильпотентна, то группа $U_n$ не допускает точного представления матрицами ни над каким полем. Таким образом, дана исчерпывающая классификация точной матричной представимости групп унитреугольных автоморфизмов относительно свободных групп конечного ранга собственных многообразий групп, что дополняет известные результаты Ольшанского о точной матричной представимости полных групп автоморфизмов $\mathrm{Aut}G_n$. Также введено понятие длины автоморфизма произвольной относительно свободной группы $G_n$ и дана оценка длины обратного автоморфизма в случае его унитреугольности.