О группах, в которых централизаторы элементов порядка $5$ являются $5$-группами

Основная теорема настоящей статьи показывает, что группа нечетного порядка, допускающая знакопеременную группу степени $5$ с элементом порядка $5$ и действием без неподвижных точек, является нильпотентной индекса не более чем два. Для всех нечетных простых $r$, отличных от $5$, построена $r$-группа класса два, допускающая знакопеременную группу степени $5$ с указанными свойствами. Данная теорема исправляет предыдущий результат, который утверждает отсутствие таких групп класса два. Полученный результат позволяет сформулировать теорему, дающую точную информацию о группах, в которых централизатор каждого элемента порядка пять является $5$-группой.