Мажорируемая сходимость по мере на полуконечных алгебрах фон Неймана и средние арифметические измеримых операторов

Пусть $\mathcal M$ – алгебра фон Неймана с точным нормальным полуконечным следом $\tau$. Доказано, что каждая порядково ограниченная последовательность $\tau$-компактных операторов обладает подпоследовательностью, средние арифметические которой сходятся по мере $\tau$. Доказан некоммутативный аналог леммы Пратта для пространства $L_1(\mathcal M,\tau)$. Результаты являются новыми даже для алгебры $\mathcal{M=B(H)}$ линейных ограниченных операторов в гильбертовом пространстве $\mathcal H$, снабженной каноническим следом $\tau=\mathrm{tr}$. Получено приложение основного результата к пространствам $L_p(\mathcal M,\tau)$, $0<p\le1$. Приведены примеры, показывающие необходимость перехода к средним арифметическим и существенность $\tau$-компактности мажорирующего оператора.