О секционной связности контингенции

Пусть $X$ – вещественное нормированное пространство, $f\colon\mathbb R\to X$ – непрерывное отображение. Пусть $\mathrm T_f(t_0)$ – контингенция графика $G(f)$ в точке $(t_0,f(t_0))$, $S^+\subset(0,\infty)\times X$ – “правая” единичная полусфера с центром в $(0,0_X)$. Доказаны следующие результаты.
1. Если $\dim X<\infty$ и растяжение $D(f,t_0)$ отображения $f$ в $t_0$ конечно, то $\mathrm T_f(t_0)\cap S^+$ компактна и связна. Результат остается верным для $\mathrm T_f(t_0)\cap\overline{S^+}$ даже при бесконечном растяжении в случае, когда $f\colon[0,\infty)\to X$.
2. Если $\dim X=\infty$, то для любого компактного множества $F\subset S^+$ существует липшицево отображение $f\colon\mathbb R\to X$ такое, что $\mathrm T_f(t_0)\cap S^+=F$.
3. Если замкнутое множество $F\subset S^+$ имеет мощность больше континуума, то соотношение $\mathrm T_f(t_0)\cap S^+=F$ неверно для любого липшицева $f\colon\mathbb R\to X$.