Однородные области, близкие к шару

Любая пара точек однородной области $U$ соединяется “сигарой” – образом криволинейного конуса при мёбиусовом преобразовании. Получен ряд геометрических свойств таких областей при условии, что углы в вершинах “сигар” близки к $\pi$. Доказано, что если $\overline{\mathbb R^n}\setminus\overline U=U^*\ne\varnothing$, то $U^*$ тоже однородна. Если $\partial U$ не ограничена, то является почти плоской, т.е. для любого шара $B(x,r)$ его пересечение с $\partial U$ лежит в $\delta r$-окрестности некоторой гиперплоскости. Этими свойствами обладают образы шаров при квазиконформных отображениях, близких к конформным.