Вершинные разбиения разреженных графов на независимое множество и подграф максимальной степени не более $1$

Граф $G$ называется $(1,0)$-раскрашиваемым, если множество его вершин можно разбить на подмножества $V_1$ и $V_0$ так, чтобы в подграфе $G[V_1]$ каждая вершина имела степень не больше $1$, а $G[V_0]$ не содержал ребер. Доказано, что всякий граф c максимальной средней степенью не более $\frac{12}5$ является $(1,0)$-раскрашиваемым. В частности, отсюда следует $(1,0)$-раскрашиваемость любого плоского графа обхвата не менее $12$. С другой стороны, построены графы с максимальной средней степенью, сколь угодно близкой (сверху) к $\frac{12}5$, которые не имеют $(1,0)$-раскраски.
Фактически в работе получен более сильный результат: найдено неулучшаемое достаточное условие $(1,0)$-раскрашиваемости графа $G$ в терминах минимума, $Ms(G)$, разности $6|V(A)|-5|E(A)|$ по всем подграфам $A$ графа $G$. А именно, доказано, что всякий граф $G$ с $Ms(G)\ge-2$ является $(1,0)$-раскрашиваемым, и построена бесконечная серия $(1,0)$-нераскрашиваемых графов $G$ с $Ms(G)=-3$.