Четырехточечный критерий мёбиусовости гомеоморфизма плоских областей

Упорядоченная четверка попарно различных точек $T=\{z_1,z_2,z_3,z_4\}\subset\mathbf C$ называется правильной, если точки $z_2$ и $z_4$ лежат по разные стороны от прямой, проведенной через $z_1,z_3$. Величина $\Phi(T)=\angle z_1z_2z_3+\angle z_1z_4z_3$ (углы неориентированные) рассматривается как геометрическая характеристика правильной тетрады. Доказана теорема: при любом фиксированном $\alpha\in(0,2\pi)$ мёбиусовость гомеоморфизма $f\colon D\to D^*$ областей в $\mathbf C$ эквивалентна тому, что для любой правильной тетрады $T\subset D$ с $\Phi(T)=\alpha$, образ которой $fT$ также является правильной тетрадой, выполняется равенство $\Phi(fT)=\alpha$. Ранее (H. Haruki, Th. Rassias, 1994) этот критерий мёбиусовости был установлен только в классе однолистных аналитических функций $f(z)$.